(I)设A,B为n阶可相似对角化矩阵,且有相同特征值,证明:矩阵A,B相似; (Ⅱ)设求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.

admin2020-11-16  19

问题 (I)设A,B为n阶可相似对角化矩阵,且有相同特征值,证明:矩阵A,B相似;
    (Ⅱ)设求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.

选项

答案(I)设A,B的特征值为λ1,λ2,…,λn, 因为A,B可相似对角化,所以存在可逆矩阵P1,P2,使得 [*] 于是P1-1AP1=P2-1BP2.或(P1P2-1)-1A(P1P2-1)=B, 令P=P1P2-1,则P-1AP=B,即矩阵A,B相似. (Ⅱ)由[*]得λ1=一1,λ23=1; 由[*]得μ1=一1,μ23=1. 由[*]得 A的属于λ1=一1的线性无关特征向量为[*] 由[*]得 A的属于特征值λ23=1的线性无关的特征向量为[*] 令[*]则[*] 由[*]得 B的属于μ1=一1的线性无关特征向量为[*] 由[*]得 B的属于特征值μ23=1的线性无关的特征向量为[*] 令[*]则[*] 故[*]使得P-1AP=B.

解析
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