设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．

admin2018-05-21 12

问题设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．

选项

答案令φ(x)=e^xf(x)，则φ’(x)=e^x[f(x)+f’(x)]，由|f(x)+f’(x)|≤1得|φ’(x)|≤e^x，又由f(x)有界得φ(－∞)=0，则φ(x)=φ(x)－φ(－∞)=∫_－∞^xφ’(x)dx，两边取绝对值得 e^x|f(x)|≤∫_－∞^x|φ’(x)|dx≤∫_－∞^xe^xdx=e^x，所以|f(x)|≤1．

解析

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考研数学一

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