设实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为2,且α1=(1,0,0)T是(A-2E)x=0的解,α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解. 用正交变换将该二次型化成标准形,并写出所用的正交变换和所化的标准形;

admin2019-12-26  24

问题 设实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为2,且α1=(1,0,0)T是(A-2E)x=0的解,α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解.
用正交变换将该二次型化成标准形,并写出所用的正交变换和所化的标准形;

选项

答案由α1=(1,0,0)T是(A-2E)x=0的解,α2(0,-1,1)T是(A一6E)x=0的解,得Aα1=2α1,Aα2=6α2,于是得A的两个特征值为λ1=2,λ2=6,其对应的特征向量依次为α1=(1,0,0)T,α2=(0,-1,1)T.又由于实二次型f(x1,x2,x3)的秩为2,所以A的另一个特征值为λ3=0,设其对应的特征向量为 α3=(x1,x2,x3)T, 则有α1Tα3=0,α2Tα3=0,即[*] 解得特征向量为 [*] 取[*]单位化得 [*] 令[*]则P为正交矩阵,故x=Py为正交变换,该变换将二次型化成标准形为f(x1,x2,x3)=2y12+6y22

解析
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