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  3. 设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且 (Ⅰ)验证 (Ⅱ)若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．

设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且 (Ⅰ)验证 (Ⅱ)若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．

admin2020-05-19  25
问题 设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且
(Ⅰ)验证
(Ⅱ)若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．
选项
答案(Ⅰ)由z=f(u)，[*]，得 [*] 所以根据题设条件可得[*]，即 [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f’’(u)+[*]f’(u)=0且f(1)=0，f’(1)=1， 令p=f’(u)，则f’’(u)=[*]，于是原方程化为[*] 由f’(1)=p(1)=1，得到C1=1，即f’(u)=[*] 从而得f(u)=lnu+C，又因为f(1)=0，则C=0，因此 f(u)=lnu．
解析 (Ⅰ)求出即可．
(Ⅱ)直接解方程f’’(u)+f’(u)=0，并利用条件f’(1)=1，f(1)=0，可得f(u)的表达式．
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考研数学一

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