2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明： (1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＝2ξf(ξ)． (2)存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)＋f(η)＝0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明： (1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＝2ξf(ξ)． (2)存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)＋f(η)＝0．

admin2017-12-31  13
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明：
(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＝2ξf(ξ)．
(2)存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)＋f(η)＝0．
选项
答案(1)令φ(x)＝e－x2f(x)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(a，6)，使得φ’(ξ)＝0， 而φ’(x)＝e－x2[f’(x)－2xf(x))]且e－x2≠0，故f’(ξ)＝2ξf(ξ)． (2)令φ(x)＝xf(x)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)φ(b)＝0， 由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)＝0， 而φ’(x)＝xf’(x)＋f(x)，故ηf’(η)＋f(η)＝0．
解析
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考研数学三

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