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已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。 (1)写出二次型f的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。
已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。 (1)写出二次型f的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。
admin
2015-09-14
32
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=4x
2
2
一3x
3
2
+4x
1
x
2
—4x
1
x
3
+8x
2
x
3
。
(1)写出二次型f的矩阵表达式；
(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。
选项
答案
(1)f的矩阵表达式为 [*] 得A的全部特征值为λ
1
=1，λ
2
=6，λ
3
=一6．计算可得，对应的特征向量分别可取为 α
1
=(2，0，一1)
T
，α
2
=(1，5，2)
T
，α
3
=(1，一1，2)
T
对应的单位特征向量为 [*] 则二次型f可化为如下标准形：f=y
1
2
+6y
2
2
一6y
3
2
。
解析
本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的运算，其一般步骤是：
(1)正确写出二次型f的矩阵A；
(2)求一个正交矩阵P，使P
-1
AP=
为对角阵；
(3)写出正交变换：
(4)写出f在上述正交变换下化成的标准形：f=λ
1
y
1
2
+…+λ
n
y
n
2
。
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/p4NRFFFM
0
考研数学三
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