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将一枚骰子独立地重复掷n次,以Sn表示各次掷出的点数之和. (Ⅰ)证明:当n→+∞时,随机变量Un=的极限分布是标准正态分布; (Ⅱ)为使P{|-3.5|<0.10}≥0.95,至少需要将骰子重复掷多少次?
将一枚骰子独立地重复掷n次,以Sn表示各次掷出的点数之和. (Ⅰ)证明:当n→+∞时,随机变量Un=的极限分布是标准正态分布; (Ⅱ)为使P{|-3.5|<0.10}≥0.95,至少需要将骰子重复掷多少次?
admin
2018-06-12
57
问题
将一枚骰子独立地重复掷n次,以S
n
表示各次掷出的点数之和.
(Ⅰ)证明:当n→+∞时,随机变量U
n
=
的极限分布是标准正态分布;
(Ⅱ)为使P{|
-3.5|<0.10}≥0.95,至少需要将骰子重复掷多少次?
选项
答案
(Ⅰ)设X
1
,X
2
,…,X
n
表示将一枚骰子独立地重复掷n次各次掷出的点数,易见它们是独立同分布随机变量,且EX
k
=3.5(k=1,2,…,n).不难计算其方差: EX
k
2
=[*](1
2
+2
2
+…+6
2
)=[*], DX
k
=EX
k
2
=(EX
k
)
2
:[*]35(k=1,2,…,n). 由于S
n
=X
2
+X
1
+…+X
n
,则ES
n
=3.5n,DS
n
=[*]. 因此根据列维一林德伯格中心极限定理知,当n→∞时随机变量的极限分布是标准正态分布. [*] (Ⅱ)掷骰子需要重复的次数n,满足下列关系式: [*] 由此可见[*]≥1.96,n≥[*]≈1120.47. 于是为满足所给条件,至少需要将骰子重复掷1121次.
解析
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考研数学一
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