设齐次线性方程组有非零解，且A＝为正定矩阵，求a，并求当｜｜X｜｜＝时XTAX的最大值．

admin2019-11-25 40

问题设齐次线性方程组

有非零解，且A＝

为正定矩阵，求a，并求当｜｜X｜｜＝

时X^TAX的最大值．

选项

答案因为方程组有非零解，所以[*]＝a(a＋1)(a－3)＝0，即a＝－1或 a＝0或a＝3．因为A是正定矩阵，所以a_ii＞0(i＝1，2，3)，所以a＝3．当a＝3时，由｜λE－A｜＝[*]＝(λ－1)(λ－4)(λ－10)＝0，得A的特征值为1，4，10．因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得f＝X^TAX[*]y²₁＋4y²₂＋10y²₃≤10(y²₁＋y²₂＋y²₃)，而当｜｜X｜＝[*]时， y²₁＋y²₂＋y²₃＝Y^TY＝Y^Tq^TQY＝(QY)^T(QY)＝X^TX＝｜｜X ｜｜²＝2，所以当｜｜X｜｜＝[*]时，X^TAX的最大值为20(最大值20可以取到，如y₁＝y₂＝0，y₃＝[*])．

解析

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考研数学三

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