二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22，Q的第3列为 ①求A．②证明A+E是正定矩阵．

admin2018-11-20 38

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX在正交变换X=QY下化为y₁²+y₂²，Q的第3列为

①求A．②证明A+E是正定矩阵．

选项

答案①条件说明 Q^-1AQ=Q^TAQ=[*] 于是A的特征值为1，1，0，并且Q的第3列=[*](1，0，1)^T是A的特征值为0的特征向量．记α₁=(1，0，1)^T，它也是A的特征值为0的特征向量． A是实对称矩阵，它的属于特征值1的特征向量都和α₁正交，即是方程式x₁+x₃=0的非零解． α₂=(1，0，一1)^T，α₃=(0，1，0)^T 是此方程式的基础解系，它们是A的特征值为1的两个特征向量．建立矩阵方程 A(α₁，α₂，α₃)=(0，α₂，α₃)，两边做转置，得 [*] 解此矩阵方程 [*] ②A+E也是实对称矩阵，特征值为2，2，1，因此是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22，Q的第3列为 ①求A．②证明A+E是正定矩阵．

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