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若A,B均为n阶矩阵,且A2=A,B2=B,r(A)=r(B),证明:A,B必为相似矩阵.
若A,B均为n阶矩阵,且A2=A,B2=B,r(A)=r(B),证明:A,B必为相似矩阵.
admin
2018-09-20
42
问题
若A,B均为n阶矩阵,且A
2
=A,B
2
=B,r(A)=r(B),证明:A,B必为相似矩阵.
选项
答案
由A
2
=A,可知A的特征值为0或1,对应于0,1的线性无关的特征向量的个数分别为n-r(0.E—A)与n一r(1.E一A). 又由于A
2
-A=O,即A(A—E)=O,则r(A)+r(A—E)≤n,于是A的线性无关的特征向量的总个数为 n一r(0.E一A)+n一r(1.E一A)=2n一[r(-A)+r(E一A)]≥2n-n=n, 故A有n个线性无关的特征向量,则A可相似对角化. 同理,B也可相似对角化,且由题设,r(A)=r(B),可知A,B有完全相同的特征值,即A,B相似于同一对角矩阵.故A,B必相似.
解析
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考研数学三
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