用配方法化二次型 f(x,y,z)=x2+2y2+5z2+2xy+6yz+2zx 为标准形,并求所用的可逆线性变换.

admin2016-01-25  32

问题 用配方法化二次型
    f(x,y,z)=x2+2y2+5z2+2xy+6yz+2zx
为标准形,并求所用的可逆线性变换.

选项

答案解 用配方法,先集中含x的项,配方得到 f(x,y,z)=x2+2(y+z)x+2y2+5z2+6yz =(x+y+z)2一(y+z)2+2y2+5z2+6yz =(x+y+z)2+y2+4z2+4yz =(x+y+z)2+(y+2z)2 令 [*] 则有 f(x,y,z)=x′2+y′2 且所用的线性变换(即用新变量x′,y′,z′表示旧变量x,y,z的线性变换)为可逆的线性变换: [*] 其中 [*]=1≠0.

解析
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