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  3. 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有

设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有

admin2014-01-26  31
问题 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有
选项 A、F(x)是偶函数f(x)是奇函数．
B、F(x)是奇函数f(x)是偶函数．
C、F(x)是周期函数f(x)是周期函数．
D、F(x)是单调函数(x)是单凋函数．  
答案A
解析 [分析]  本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案．
[详解1]  任一原函数可表示为F(x)＝∫0xf(t)dt＋C，且F’(x)＝f(x)．当F(x)为偶函数时，有F(－x)＝F(x)，于是F’(－x).(－1)＝F’(x)，即－f(－x)＝f(x)，也即f(－x)＝－f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则∫0xf(t)dt为偶函数，从而F(x)＝∫0xf(t)dt＋C为偶函数，故选(A)．
[详解2]  令f(x)=1，则取F(x)=x+1，可排除(B)，(C)；令f(x)=x，则取，可排除(D)，故应选(A)．
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考研数学二

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