设f(x)在(一∞,+∞)上连续,T为常数,则下述命题错误的是( )

admin2020-03-01  50

问题 设f(x)在(一∞,+∞)上连续,T为常数,则下述命题错误的是(    )

选项 A、对任意的a>0,∫-aaf(x)dx=0的充分必要条件是f(x)为奇函数.
B、对任意的a>0,∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx的充分必要条件是f(x)为偶函数.
C、对任意的a>0,∫aa+Tf(x)dx与a无关的充分必要条件是f(x)有周期T
D、f(x+T)=f(x)的充分必要条件是∫0xf(t)dt有周期T

答案D

解析,∫-aaf(t)dt=0,两端对a求导,得f(a)+f(一a)=0,即f(一a)=-f(a),故f(x)为奇函数.
反之,设f(x)为奇函数,则有∫-aaf(t)dt=0,因此(A)正确.
同理(B),(C)也都正确.
对于(D),可举反例说明是错误的,例如f(x)=1+cosx是以2π为最小正周期的函数,但是∫0xf(t)dt=x+sinx并不是周期函数,因此(D)是错误的命题.
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