设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. 试将x=x(y)所满足的微分方程(d2x)/(dy2)+(y+sinx)(dx/dy)=0变换为y=y(x)满足的微分方程;

admin2012-01-08  47

问题 设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
试将x=x(y)所满足的微分方程(d2x)/(dy2)+(y+sinx)(dx/dy)=0变换为y=y(x)满足的微分方程;

选项

答案实质上是求反函数的一、二阶导数的问题.由反函数求导公式知 dx/dy=1/y’,(d2x)/(dy2)=(dx/dy)’=(1/y’)y’=(1/y’)x’dx/dy=-y"/y’3=-y"(dx/dy)3 代入原微分方程,便得常系数的二阶线性微分方程y"-y=sinx. (*)

解析
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