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讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数。
讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数。
admin
2018-01-30
45
问题
讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln
4
x的交点个数。
选项
答案
曲线y=4lnx+k与y=4x+ln
4
x的交点个数等价于方程 φ(x)=ln
4
x一4lnx+4x一k 在区间(0,+∞)内的零点个数。对以上方程两端求导得 φ
’
(x)=[*](ln
3
x一1+x), 可知x=1是φ(x)的驻点。 当0<x<1时,ln
3
x<0,则ln
3
x一1+x<0,而[*]>0,因此φ
’
(x)<0,即φ(x)单调减少; 当x>1时,ln
3
x>0,则ln
3
x一1+x>0,且[*]>0,因此φ
’
(x)>0,即φ(x)单调增加。 故φ(1)=4一k为函数φ(x)的唯一极小值,即最小值。 ①当φ(1)=4一k>0,即当k<4时,φ(x)≥φ(1)>0,φ(x)无零点,两曲线没有交点; ②当φ(1)=4一k=0,即当k=4时,φ(x)≥φ(1)=0,φ(x)有且仅有一个零点,即两曲线仅有一个交点; ③当φ(1)=4一k<0,即当k>4时,由于 [*] 由连续函数的介值定理,在区间(0,1)与(1,+∞)内各至少有一个零点,又因φ(x)在区间(0,1)与(1,+∞)内分别是严格单调的,故φ(x)分别各至多有一个零点。因此,当k>4时,φ(x)有两个零点。 综上所述,当k<4时,两曲线没有交点;当k=4时,两曲线仅有一个交点;当k>4时,两曲线有两个交点。
解析
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考研数学二
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