已知矩阵有三个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，A是矩阵A的伴随矩阵，求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵．

admin2019-05-14 33

问题已知矩阵

有三个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，A^*是矩阵A的伴随矩阵，求可逆矩阵P，使P^－1A^*P为对角矩阵．

选项

答案因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，故λ=5必有两个线性无关的特征向量，因此r(5E—A)=1．由 [*] 得a=0，b=－1．又因5+5+λ₃=1+3+5，知矩阵A的特征值是λ₁=λ₂=5，λ₃=－1．又｜A｜=λ₁．λ₂．λ₃=－25，伴随矩阵A^*的特征值为[*](i=1，2，3)，即－5，－5，25．解线性方程组(5E—A)x=0，得基础解系 α₁=(1，2，0)^T， α₂=(0，0，1)^T．它是矩阵A的属于特征值λ₁=λ₂=5的线性无关的特征向量，也是A^*的属于特征值－5的线性无关的特征向量．解线性方程组(－E—A)x=0，得基础解系 α₃=(－2，2，1)^T．它是矩阵A的属于特征值λ₃=－1的特征向量，也是A^*的属于特征值25的特征向量． [*]

解析

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考研数学一

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