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已知矩阵 有三个线性无关的特征向量,λ=5是矩阵A的二重特征值,A*是矩阵A的伴随矩阵,求可逆矩阵P,使P-1A*P为对角矩阵.
已知矩阵 有三个线性无关的特征向量,λ=5是矩阵A的二重特征值,A*是矩阵A的伴随矩阵,求可逆矩阵P,使P-1A*P为对角矩阵.
admin
2019-05-14
33
问题
已知矩阵
有三个线性无关的特征向量,λ=5是矩阵A的二重特征值,A
*
是矩阵A的伴随矩阵,求可逆矩阵P,使P
-1
A
*
P为对角矩阵.
选项
答案
因为矩阵A有三个线性无关的特征向量,λ=5是矩阵A的二重特征值,故λ=5必有两个线性无关的特征向量,因此r(5E—A)=1.由 [*] 得a=0,b=-1.又因5+5+λ
3
=1+3+5, 知矩阵A的特征值是λ
1
=λ
2
=5,λ
3
=-1. 又|A|=λ
1
.λ
2
.λ
3
=-25,伴随矩阵A
*
的特征值为[*](i=1,2,3),即-5,-5,25. 解线性方程组(5E—A)x=0,得基础解系 α
1
=(1,2,0)
T
, α
2
=(0,0,1)
T
. 它是矩阵A的属于特征值λ
1
=λ
2
=5的线性无关的特征向量,也是A
*
的属于特征值-5的线性无关的特征向量. 解线性方程组(-E—A)x=0,得基础解系 α
3
=(-2,2,1)
T
. 它是矩阵A的属于特征值λ
3
=-1的特征向量,也是A
*
的属于特征值25的特征向量. [*]
解析
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考研数学一
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