2. 考研
  3. 已知 (1)t取何值时，A为正定矩阵?为什么? (2)t取何值时，A与B等价?为什么? (3)t取何值时，A与C相似?为什么? (4)t取何值时，A与D合同?为什么?

已知 (1)t取何值时，A为正定矩阵?为什么? (2)t取何值时，A与B等价?为什么? (3)t取何值时，A与C相似?为什么? (4)t取何值时，A与D合同?为什么?

admin2022-06-30  36
问题 已知
(1)t取何值时，A为正定矩阵?为什么?
(2)t取何值时，A与B等价?为什么?
(3)t取何值时，A与C相似?为什么?
(4)t取何值时，A与D合同?为什么?
选项
答案(1)由[*]得t＞0，当t＞0时，A的顺序主子式都大于零，所以A为正定矩阵． (2)由B=[*]得r(B)=2， 因为A与B等价，所以r(A)=r(B)=2＜3，故t=0． (3)C的特征值为λ1=1，λ2=3，λ3=5， 由｜λE－A｜=[*]=(λ－1)(λ－3)(λ－t)=0得 A的特征值为λ1=1，λ2=3，λ3=t，故t=5． (4)由｜λE－D｜=[*]=0得 λ1=2＞0，λ2=1+[*]＞0，λ3=1－[*]＜0， 矩阵A的特征值为λ1=1，λ23，λ3=t， 因为A与D合同，所以特征值中正、负个数一致，故t＜0．
解析
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考研数学二

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