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已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx-dy的任意解,并在y=y(x)的定义域内取x0,记y0=y(x0).证明: (1)y(x)<y0-arctanx0;(2)均存在.
已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx-dy的任意解,并在y=y(x)的定义域内取x0,记y0=y(x0).证明: (1)y(x)<y0-arctanx0;(2)均存在.
admin
2020-03-10
50
问题
已知y=y(x)是微分方程(x
2
+y
2
)dy=dx-dy的任意解,并在y=y(x)的定义域内取x
0
,记y
0
=y(x
0
).证明:
(1)y(x)<y
0
-arctanx
0
;(2)
均存在.
选项
答案
本题以微分方程的概念为载体,考查一元微积分学的综合知识,是一道有一定难度的综合题. (1)将微分方程(x
2
+y
2
)dy=dx-dy变形为[*]>0,则y=y(x)为严格单调增函数,根据单调有界准则,只要证明y(x)有界即可. 对dy=[*]dx两边从x
0
到x积分,得 [*] 设x≥x
0
,则 y(x)≤y(x
0
)+[*]=y(x
0
)+arctanx-arctanx
0
<y
0
+[*]-arctanx
0
. (2)y(x)有上界,所以[*]y(x)存在. 同理可证,当x≤x
0
时,y(x)有下界,所以[*]y(x)也存在. 故[*]y(x)存在,[*]y(x)也存在.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/WWiRFFFM
0
考研数学三
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