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设奇函数f(x)在[一1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明: 存在η∈(一1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.
设奇函数f(x)在[一1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明: 存在η∈(一1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.
admin
2015-09-10
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问题
设奇函数f(x)在[一1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明:
存在η∈(一1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.
选项
答案
因为f(x)是奇函数,所以f’(x)是偶函数,故f’(一ξ)=f’(ξ)=1. 令F(x)=[f’(x)一1]e
x
,则F(x)可导,且F(-ξ)=F(ξ)=0. 根据罗尔定理,存在η∈(一ξ,ξ)[*](一1,1),使得F’(η)=0. 由F’(η)=[f"(η)+f’(η)一1]e
η
且e
η
≠0,得f"(η)+f’(η)=1.
解析
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考研数学一
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