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设f(x)在(一∞,+∞)上有定义,且f’(0)=1,又f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,求f(x).
设f(x)在(一∞,+∞)上有定义,且f’(0)=1,又f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,求f(x).
admin
2017-07-26
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问题
设f(x)在(一∞,+∞)上有定义,且f’(0)=1,又f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
,求f(x).
选项
答案
令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. [*] =f(x)+e
x
, 即f’(x)一f(x)=e
x
,f(0)=0,这是一阶非齐次线性微分方程,通解为: f(x)=e
∫dx
(∫e
x
e
—∫dx
dx+c)=ce
x
+xe
x
. 由f(0)=0,得c=0,所以,f(x)=xe
x
.
解析
由已知条件f(x+y)一f(x)=f(x)e
y
+f(y)e
x
—f(x),建立f(x)应满足的微分方程,然后解方程求出f(x).
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考研数学三
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