设f(x)在[0,1]可导，f(0)=0,｜f’(x)｜≤｜f(x)｜,则f(1)=__________.

admin2021-07-15 3

问题设f(x)在[0,1]可导，f(0)=0,｜f’(x)｜≤｜f(x)｜,则f(1)=__________.

选项

答案0

解析当0＜x＜1时，
｜f(x)｜＝｜f(x)－f(0)｜=｜f’(ξ₁)｜x≤｜f(ξ₁)｜·x
=｜f(ξ₁)－f(0)｜·x=｜f’(ξ₂)｜·ξ₁·x
≤｜f(ξ₂)｜·x²≤…≤｜f(ξ_n)｜·xⁿ
≤M·xⁿ

0
其中0＜ξ_n＜...＜ξ₂＜ξ₁,M为｜f(x)｜在[0,1]上的最大值，故0＜x＜1时，f(x)=0，又由f(x)在x=1处左连续，有f(1)=

=0.

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