设函数f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数,且f(a)=f(b)>0,f”(x)<0,证明: (1)函数f(x)在(a,b)上的最大值为M; (2)

admin2022-06-04  0

问题 设函数f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数,且f(a)=f(b)>0,f”(x)<0,证明:
    (1)函数f(x)在(a,b)上的最大值为M;
    (2)

选项

答案(1)因f(A)=f(B)>0,则由罗尔定理知,必存在一点c∈(a,b)使得f’(C)=0.又f”(x)<0,可知f’(x)单调递减.于是当a≤x<c时,f’(x)>f’(C)=0,则f(x)单调递增,故f(x)≥f(A)>0;当c<x≤a时,f’(x)<f’(C)=0,则f(x)单调递减,故f(x)≥f(B)>0.所以在(a,b)内f(C)>f(A)=f(B)>0,且f(C)是最大值,即f(C)=M. (2)对函数f(x)在[a,c]和[c,b]上应用拉格朗日中值定理,存在一点ξ1∈(a,c),使得f’(ξ1)=[*];存在一点ξ2∈(c,b),使得f’(ξ2)=[*]. 则由定积分的性质和结论(1),得 [*]

解析
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