2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，b]上具有二阶连续导数，且f(a)=f(b)＞0，f”(x)＜0，证明： (1)函数f(x)在(a，b)上的最大值为M； (2)

设函数f(x)在[a，b]上具有二阶连续导数，且f(a)=f(b)＞0，f”(x)＜0，证明： (1)函数f(x)在(a，b)上的最大值为M； (2)

admin2022-06-04  0
问题 设函数f(x)在[a，b]上具有二阶连续导数，且f(a)=f(b)＞0，f”(x)＜0，证明：
    (1)函数f(x)在(a，b)上的最大值为M；
    (2)
选项
答案(1)因f(A)=f(B)＞0，则由罗尔定理知，必存在一点c∈(a，b)使得f’(C)=0．又f”(x)＜0，可知f’(x)单调递减．于是当a≤x＜c时，f’(x)＞f’(C)=0，则f(x)单调递增，故f(x)≥f(A)＞0；当c＜x≤a时，f’(x)＜f’(C)=0，则f(x)单调递减，故f(x)≥f(B)＞0．所以在(a，b)内f(C)＞f(A)=f(B)＞0，且f(C)是最大值，即f(C)=M． (2)对函数f(x)在[a，c]和[c，b]上应用拉格朗日中值定理，存在一点ξ1∈(a，c)，使得f’(ξ1)=[*]；存在一点ξ2∈(c，b)，使得f’(ξ2)=[*]． 则由定积分的性质和结论(1)，得 [*]
解析
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考研数学二

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