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设向量组α1,α2,α3线性无关,证明:α1+α2+α3,α1=2α2+3α3,α1+4α2+9α3线性无关.
设向量组α1,α2,α3线性无关,证明:α1+α2+α3,α1=2α2+3α3,α1+4α2+9α3线性无关.
admin
2021-11-15
18
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,证明:α
1
+α
2
+α
3
,α
1
=2α
2
+3α
3
,α
1
+4α
2
+9α
3
线性无关.
选项
答案
方法一 令k
1
(α
1
+α
2
+α
3
)+k
2
(α
1
+2α
2
+3α
3
)+k
3
(α
1
+4α
2
+9α
3
)=0,即 (k
1
+k
2
+k
3
)α
1
+(k
1
+2k
2
+4k
3
)α
2
+(k
1
+3k
2
+9k
3
)α
3
=0, 因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以有[*] 而D=[*](i-j)=2≠0,由克拉默法则得k
1
=k
2
=k
3
=0, 所以α
1
+α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+3α
3
,α
1
+4α
2
+9α
3
线性无关. 方法二 令A=(α
1
,α
2
,α
3
),B=(α
1
+α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+3α
3
,α
1
+4α
2
+9α
3
),则B=A[*]可逆,所以r(B)=r(A)=3, 故α
1
+α
2
+α
3
,α
1
+2α
2
+3α
3
,α
1
+4α
2
+9α
3
线性无关.
解析
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