设矩阵试判断A和B是否相似，若相似，求出可逆矩阵X，使得X－1AX＝B．

admin2019-08-27 13

问题设矩阵

试判断A和B是否相似，若相似，求出可逆矩阵X，使得X^－1AX＝B．

选项

答案由[*] 得A的特征值为2，1，－1．因此A相似于[*] 进而求得对应于2，1，－1的特征向量分别为[*] 令P＝(η₁，η₂，η₃)，则有[*] 又因为B是下三角矩阵，所以特征值为2，1，－1．B也相似于[*] 进而求得对应2，1，－1的特征向量分别为[*] 令Q＝(ξ₁，ξ₂，ξ₃)，则Q^－1BQ＝[*]因此P^－1AP＝Q^－1BQ，所以B＝QP^－1APQ^－1＝(PQ^－1)^－1A(PQ^－1)，令X=PQ^－1＝[*]即为所求．

解析【思路探索】将A，B分别相似对角化，与同一个对角阵相似，再根据相似的传递性，得到A，B相似．

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考研数学一

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