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设有曲面S:2x2+4y2+z2=4与平面π:2x+2y+z+5=0,试求 曲面S上的点及其上的切平面与法线方程,使该切平面与平面π平行;
设有曲面S:2x2+4y2+z2=4与平面π:2x+2y+z+5=0,试求 曲面S上的点及其上的切平面与法线方程,使该切平面与平面π平行;
admin
2016-07-22
24
问题
设有曲面S:2x
2
+4y
2
+z
2
=4与平面π:2x+2y+z+5=0,试求
曲面S上的点及其上的切平面与法线方程,使该切平面与平面π平行;
选项
答案
在曲面S上任取一点P(ξ,ηζ),记F(x,y,z)=2x
2
+4y
2
+z
2
-4,则 [*] 于是,曲面S在点P处的切平面为 4ξ(x-ξ)+8η(y-η)+2ζ(z-ζ)=0,即2ξx+4ηy+ζz-4=0. 因该切平面与平面π平行,即其法向量n
1
=2ξi+4ηj+ζk与n=2i+2j+k平行, [*] 把它们代入曲面S的方程得ξ
2
=1,ξ=±1,于是,所求的点为[*],且它们所对应的切平面方程分别为2x+2y+z-4=0与2x+2y+z+4=0,它们所对应的法线方程分别为 [*]
解析
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考研数学一
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