2. 考研
  3. 设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2,已知f(1)=1,求∫12f(x)dx的值。

设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2,已知f(1)=1,求∫12f(x)dx的值。

admin2022-09-05  52
问题 设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2,已知f(1)=1,求∫12f(x)dx的值。
选项
答案令u=2x－t,则t=2x－u,dt=－du ∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du 于是 2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=[*]arctanx2 上式两边对x求导可得 2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x)·2－xf(x)]=[*] 即∫x2xf(u)du=[*]+xf(x) 令x=1得2∫12f(u)du=[*]+1=[*],于是∫12f(x)dx=[*]
解析
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考研数学三

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