设矩阵A=(α1,α2,α3,α4)经行初等变换为矩阵B=(β1,β2,β3,β4),且α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,α4线性相关,则( ).

admin2020-03-24  50

问题 设矩阵A=(α1,α2,α3,α4)经行初等变换为矩阵B=(β1,β2,β3,β4),且α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,α4线性相关,则(      ).

选项 A、β4不能由β1,β2,β3线性表示
B、β4能由β1,β2,β3线性表示,但表示法不唯一
C、β4能由β1,β2,β3线性表示,且表示法唯一
D、β4能否由β1,β2,β3线性表示不能确定

答案C

解析 因为α1,α2,α3线性无关,而α1,α2,α3,α4线性相关,所以
α4可由α1,α2,α3唯一线性表
示,又A=(α1,α2,α3,α4)经过有限次初等行变换化为B=(β1,β2,β3,β4),所以方程组
x1α1+x2α2+x3α3=α4与x1β1
x2β2+x3β3=β4是同解方程组,因为方程组x1α1+x2α2
+x3α3=α4有唯一解,所以方程组x1β1+x2β2+x3β3=β4有唯一解,即β4可由β1,β2,β3
唯一线性表示,选(C).
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