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设二次型xTAx=,实对称矩阵A满足AB=O,其中B=。 用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换;
设二次型xTAx=,实对称矩阵A满足AB=O,其中B=。 用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换;
admin
2019-12-24
22
问题
设二次型x
T
Ax=
,实对称矩阵A满足AB=O,其中B=
。
用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换;
选项
答案
二次型对应的实对称矩阵为A=[*],因为AB=O,所以 [*] 从而[*]解得[*] 下面求A的特征值 [*] 所以A的特征值为0,6,-6。 当λ=0时,求解线性方程组(0E-A)x=0,解得α
1
=(1,0,1)
T
; 当λ=6时,求解线性方程组(6E-A)x=0,解得α
2
=(-1,-2,1)
T
; 当λ=-6时,求解线性方程组(-6E-A)x=0,解得α
3
=(-1,1,1)
T
。 下将α
1
,α
2
,α
3
单位化 [*] 令Q=(β
1
,β
2
,β
3
),[*] 则二次型通过正交变换x=Qy化为标准形f=6y
2
2
-6y
3
2
,其中 [*]
解析
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0
考研数学三
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