2. 考研
  3. 设 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

设 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

admin2021-01-25  35
问题 设

(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
选项
答案(Ⅰ)设ξ2=(x1，x2，x3)T，解方程组Aξ2=ξ1，由 [A，ξ1] [*] 得x1=－x2，x3=1－2x2(x2任意)．令自由未知量x2=－c1，则得 ξ2 [*] 其中c1为任意常数． 设ξ3=(y1，y2，y3)T，解方程组A2ξ2=ξ1，由 [A2，ξ1] [*] 得y1=－[*]－y2(y2，y3任意)．令自由未知量y2=c2，y3=c3，则得 [*] 其中c2，c3为任意常数． (Ⅱ)3个3维向量ξ1，ξ2，ξ3线性无关的充要条件是3阶行列式D=|ξ1 ξ2 ξ3|≠0．而 [*] 所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
解析
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考研数学三

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