[2008年] 设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：秩(A)≤2；

admin2019-04-28 35

问题 [2008年] 设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置．证明：
秩(A)≤2；

选项

答案解一直接利用命题2．2．3．2(5)的结论，有秩(αα^T)≤1，秩(ββ^T)≤1．再利用命题2．2．3．1(3)得到秩(A)=秩(αα^T+ββ^T)≤秩(αα^T)+秩(ββ^T)≤2．解二设α，β为三维列向量，且α=[a₁，a₂，a₃]^T，β=[b₁，b₂，b₃]^T，则 [*] 故秩(αβ^T)≤1．因而有秩(αα^T)≤1，秩(ββ^T)≤1．于是秩(A)=秩(αα^T+ββ^T)≤秩(αα^T)+秩(ββ^T)≤1+1=2．注：命题2．2．3．2 设A为m×n矩阵．(5)若A=αβ，其中α为m维行向量，β为n维列向量，则秩(A)=秩(αβ^T)≤1．

解析

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考研数学三

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