设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x+1，求f(x)

admin2017-08-31 44

问题设f(x)二阶可导，且∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x—t)dt=x+1，求f(x)

选项

答案∫₀^xtf(x—t)dt=[*]x∫₀^xf(μ)dμ－∫₀^xμf(μ)dμ=x∫₀^xf(t)dt—∫₀^xtf(t)dt， ∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x—t)dt=x＋1化为∫₀^xf(t)dt+x∫₀^xf(t)dt—∫₀^xtf(t)dt=x+1，两边求导得f(x)+∫₀^xf(t)dt=1，两边再求导得f^’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce^－x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e^－x．

解析

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考研数学一

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