已知矩阵相似，求a，b的值及一个可逆矩阵P，使P-1AP=B．

admin2020-01-15 36

问题已知矩阵

相似，求a，b的值及一个可逆矩阵P，使P^-1AP=B．

选项

答案因为A，B相似，所以｜A｜=｜B｜，且tr(A)=tr(B)， [*] 故A的两个特征值为-1，-1，但 [*] 因此R(-E-A)=1，所以不能对角化．设P=[*]，满足P^-1AP=B，即有AP=PB，从而 [*] 整理得 [*] 解得基础解系为[*] 所以[*]，k₁，k₂为非零常数．令k₁=k₂=1/2，则[*]，所以可令[*]，则有P^-1AP=B 【错例分析】本题最常见错误即认为P^-1AP就是将A相似对角化．事实上，由｜λE—A｜=0，解得λ=-1，是A的二重特征值，但R(-E-A)=R[*]-1，故A只有一个线性无关的特征向量，即A不能相似对角化．

解析【思路探索】经验证，A不能相似对角化。故使用待定系数法求P．

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考研数学二

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