设A为n阶矩阵，证明：

admin2021-11-25 25

问题设A为n阶矩阵，证明：

选项

答案AA^*=A^*A=｜A｜E 当r(A)=n时，｜A｜≠0,因为｜A^*｜=｜A｜^n-1,所以｜A^*｜≠0，从而r(A^*)=n 当r(A)=n－1时，由于A至少有一个n－1阶子式不为零，所以存在一个M_ij≠0，进而A_ij≠0，于是A^*≠O，故r(A^*)≥1,又因为｜A｜=0,所以AA^*=｜A｜E=O,根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A^*)≤n,而r(A)=n－1,于是得r(A^*)≤1,故r(A^*)=1; 当r(A)＜n－1时，由于A的所有n－1阶子式都为零，所以A^*=O,故r(A^*)=0.

解析

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考研数学二

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