2. 考研
  3. 从抛物线y＝x2－1上的任意一点M(t，t2－1)引抛物线y＝x2的两条切线。 (Ⅰ)求这两条切线的切线方程； (Ⅱ)证明这两条切线与抛物线y＝x2所围图形的面积为常数。

从抛物线y＝x2－1上的任意一点M(t，t2－1)引抛物线y＝x2的两条切线。 (Ⅰ)求这两条切线的切线方程； (Ⅱ)证明这两条切线与抛物线y＝x2所围图形的面积为常数。

admin2019-12-06  31
问题 从抛物线y＝x2－1上的任意一点M(t，t2－1)引抛物线y＝x2的两条切线。
(Ⅰ)求这两条切线的切线方程；
(Ⅱ)证明这两条切线与抛物线y＝x2所围图形的面积为常数。
选项
答案(Ⅰ)抛物线y＝x2在点(a，a2)处的切线方程为y＝2ax－a2，该切线过M点，则t2－1＝2at－a2，解得a的两个解为a1＝t－1，a2＝t＋1。从而求得抛物线y＝x2－1上任意一点M(t，t2－1)引抛物线y＝x2的两条切线为L1：y＝2a1x－a12，L2：y＝2a2x－a22。 (Ⅱ)两条切线与抛物线y＝x2所围面积为 s(t)＝∫a1t[x2－(2a1x－a12)]dx＋∫ta2[x2－(2a2x－a22)]dx， 则S’(t)＝(t－a1)2－(t－a2)2＝(t－t＋1)2－(t－t－1)2＝0，故S(t)为常数。
解析
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考研数学二

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