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已知α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量,α2,α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量,那么矩阵P不能是 ( )
已知α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量,α2,α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量,那么矩阵P不能是 ( )
admin
2015-08-17
18
问题
已知
α
1
是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量,α
2
,α
3
是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量,那么矩阵P不能是 ( )
选项
A、[α
1
,α
2
,α
3
]
B、[α
1
,α
2
+α
3
,α
2
—2α
3
]
C、[α
1
,α
3
,α
2
]
D、[α
1
+α
2
,α
1
一α
2
,α
3
]
答案
D
解析
若
则有AP=PA,即
即 [Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
]=[aα
1
,aα
2
,aα
3
].可见啦是矩阵A属于特征值α
i
的特征向量(i=1,2,3),又因矩阵P可逆,因此,α
1
,α
2
,α
3
线性无关.若α是属于特征值λ的特征向量,则一α仍是属于特征值λ的特征向量,故A正确.若α,β是属于特征值λ的特征向量,则k
1
α+k
2
β仍是属于特征值λ的特征向量.本题中,α
2
,α
3
是属于λ=6的线性无关的特征向量,故α
2
+α
3
,α
2
—2α
3
仍是λ=6的特征向量,并且α
2
+α
3
,α
2
—2α
3
线性无关,故B正确.关于C,因为α
2
,α
3
均是λ=6的特征向量,所以α
2
,α
3
谁在前谁在后均正确.即C正确.由于α
1
,α
2
是不同特征值的特征向量,因此 α
1
+α
2
,α
1
一α
2
不再是矩阵A的特征向量,故D错误.
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考研数学一
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