设方阵A满足A2一A一2层=0，证明A及A+2E都可逆，并求A一1及(A+2E)一1．

admin2016-03-05 37

问题设方阵A满足A²一A一2层=0，证明A及A+2E都可逆，并求A^一1及(A+2E)^一1．

选项

答案由A²一A一2E=0，得A(A—E)=2E．两端同时取行列式｜A(A—E) ｜=2，即｜A｜｜A—E｜=2，故｜A｜≠0，所以A可逆．而由A²一A一2E=0可得A+2E=A²，两端同时取行列式｜A+2E｜=｜A²｜=｜A｜²≠0，所以A+2E也可逆．由A(A—E)=2E，得[*]又A²一A一2E=0，通过添加项并整理可得(A+2E)(A一3E)=一4E，则有 (A+2E)^-1(A+2E)(A一3E)=一4(A+2E)^-1，因此[*]

解析

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考研数学二

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