已知α1，α2，α3线性无关α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关.则实数t等于__________．

admin2019-03-12 39

问题已知α₁，α₂，α₃线性无关α₁+tα₂，α₂+2tα₃，α₃+4tα₁线性相关.则实数t等于__________．

选项

答案t=一1／2．

解析本题可以用定义做，但是表述比较哕嗦，用秩比较简单，证明α₁+tα₂，α₂+2tα₃，α₃+4tα₁线性相关就是要证明其秩小于3．
记矩阵A=(α₁+tα₂，α₂+2tα₃，α₃+4tα₁)．用矩阵分解，有

记

由于α₁,α₂,α₃线性无关，(α₁,α₂,α₃)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质⑥，r(α₁+tα₂，α₂+2tα₃，α₃+4tα₁)=r(A)=r(C)．于是α₁+tα₂，α₂+2tα₃，α₃+4tα₁线性相关甘r(c)<3

｜C｜=0．求出｜C｜=1+8t³，于是得8t³=一1，t=一1／2．

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