(2001年)设f(χ)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0, (1)写出f(χ)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2)证明在[-a,a]上至少存在一点η,使a3f〞(η)=∫-aaf(χ)dχ

admin2019-08-01  45

问题 (2001年)设f(χ)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0,
    (1)写出f(χ)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;
    (2)证明在[-a,a]上至少存在一点η,使a3f〞(η)=∫-aaf(χ)dχ

选项

答案(1)对任意的χ∈[-a,a] f(χ)=f(0)+f′(0)χ+[*] 其中ξ在0与χ之间. (2)[*] 因为f〞(χ)在[-a,a]上连续,故对任意的χ∈[-a,a],有m≤f〞(χ)≤M,其中M,m分别为f〞(χ)在[-a,a]上的最大,最小值,所以 [*] 因而由f〞(χ)的连续性知,至少存在一点η∈[-a,a],使 [*] 即a3f〞(η)=3∫-aaf(χ)dχ

解析
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