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设f(x)=x3+4x2一3x一1,试讨论方程f(x)=0在(一∞,0)内的实根情况.
设f(x)=x3+4x2一3x一1,试讨论方程f(x)=0在(一∞,0)内的实根情况.
admin
2018-08-22
33
问题
设f(x)=x
3
+4x
2
一3x一1,试讨论方程f(x)=0在(一∞,0)内的实根情况.
选项
答案
方法一 因为f(一5)=一11<0,f(一1)=5>0,f(0)=一1<0,所以f(x)在[一5,一1]及[一1,0]上满足零点定理的条件,故存在ξ
1
∈(一5,一1)及ξ
2
∈(一1,0),使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0,所以方程f(x)=0在(一∞,0)内至少存在两个不等的实根.又因为f(1)=1>0,同样f(x)在[0,1]上满足零点定理的条件,在(0,1)内存在一点ξ
3
,使得f(ξ
3
)=0,而f(x)=0为三次多项式方程,最多只有三个实根,因此方程f(x)=0在(一∞,0)内只有两个不等的实根. 方法二 由题可知f’(x)=3x
2
+8x一3,令f’(x)=0,可得[*]x
2
=一3,则f(x)在(一∞,一3)上单调增加,在(一3,0)上单调递减.又因为f(一∞)<0,f(一3)=17>0,f(0)=一1所以由函数的单调性及零点定理,原函数在(一∞,0)内有两实根.
解析
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考研数学二
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