(07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵． (I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

admin2019-03-07 37

问题 (07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=一2，且α₁=(1，一1，1)^T是A的属于λ₁的一个特征向量．记B=A⁵一4A³+E,其中E为3阶单位矩阵．
(I)验证α₁是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵B．

选项

答案(I)记矩阵A的属于特征值λ_i的特征向量为α_i(i=1，2，3)，由特征值的定义与性质，有A^kα_i=λ_i^kα_i(i=1，2，3，k=1，2，…)，于是有 Bα₁=(A⁵一4A³+E)α₁=(λ₁⁵一4λ_1
解析

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考研数学一

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