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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)
admin
2022-09-05
62
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足
至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ)
选项
答案
[*] 令F(x)=xe
1-x
f(x),则 F(1)=f(1)=F(η),故F(x)在[η,1]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理得,至少存在一点ξ∈(η,1)[*](0,1),使 F’(ξ)=e
1-ξ
f(ξ)-ξe
1-ξ
f(ξ)+ξe
1-ξ
f’(ξ)=0 因e
1-ξ
>0,上式也就是(1-ξ)f(x)+ξf’ (ξ)=0,即 f’ (ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ).
解析
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考研数学三
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