设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1、2的特征向量分别是a1=(-1，-1，1)T，a2=(1，-2，-1)T． (Ⅰ)求A的属于特征值3的特征向量； (Ⅱ)求矩阵A．

admin2020-12-10 21

问题设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1、2的特征向量分别是a₁=(-1，-1，1)^T，a₂=(1，-2，-1)^T．
(Ⅰ)求A的属于特征值3的特征向量；
(Ⅱ)求矩阵A．

选项

答案(Ⅰ)由题设，实对称矩阵A的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正交，设A的属于特征值3的特征向量为a₃=(x₁，x₂，x₃)^T，则a₁^Ta₃=0且a₂^Ta₃=0，写成线性方程组的形式为[*]，其中C为任意非零常数，所以A的属于特征值3的特征向量为a₃=C(1，0，1)^T． (Ⅱ)由于实对称阵必可对角化，即存在可逆矩阵P，使P^-1AP=[*] 且由前述可令[*]．因此[*] 先求出P^-1=[*] 则A=[*]

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考研数学二

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