过原点作曲线y=的切线L,该切线与曲线y=及y轴围成平面图形D. (Ⅰ)求切线L的方程. (Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积y.

admin2020-12-17  27

问题 过原点作曲线y=的切线L,该切线与曲线y=及y轴围成平面图形D.
(Ⅰ)求切线L的方程.
(Ⅱ)求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积y.

选项

答案(Ⅰ)设切线的切点为(x0,y0),则切线的斜率为y’(x0)=[*],所以切线L的方程为 y= y0+[*](x— x0) 其中y0=[*] 因L过(0,0)点,把x=0,y=0代入上述方程得 [*] 即 x0=2,y0=e 因此所求切线L的方程为 [*] (Ⅱ)平面图形D如右图. 取积分变量为y.设y=[*]ex,y=e,),轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积为V1,它是锥体,V1=[*](x∈[0,2])即x=2lny(y∈[1,e]),y=e,y轴所围平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为V2,则V=V1—V2, V2=π∫1ef(2lny)2dy = 4π[ yln2y|∫1ey.2lny.[*]] = 4π[e— 2∫1elydy] = 4π[e— 2ylny|1e+2∫1edy] = 4π[e— 2e+2(e—1) ] = 4π(e— 2) 因此 V= V1— V2=8π一[*]

解析
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