设L:(x≥0,y≥0],过点L上一点作切线，求切线与曲线所围成面积的最小值。

admin2019-05-27 35

问题设L:

(x≥0,y≥0],过点L上一点作切线，求切线与曲线所围成面积的最小值。

选项

答案首先求切线与坐标轴围成的面积，设M（x,y)∈L,过点M的L的切线方程为[*] 令Y=0，得X=[*],切线与x轴的交点为P([*],0) 令X=0,得Y=[*]，切线与y轴的交点为Q(0,[*]) 切线与椭圆围成的图形面积为S（x,y)=[*] 其次求最优解。方法一：设F（x,y,λ)=xy+λ([*]+y²-1), F’_x=1/2λx+y=0, ① F’_y=x+2λy=0, ② F’_λ=1/4x²+y²-1=0 ③ 由[*]得λ=-1（λ=1舍去）带入①，得y=1/2x,再带入③，得[*]于是最小面积为S=2-π/2 方法二：由①②，得y=-1/2λx,x=-2λy [*]

解析

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考研数学二

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