设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组AkX=0有解向量α,且Ak-1α≠0,证明:向量组α,4α,…,AAk-1α线性无关.

admin2022-01-05  54

问题 设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组AkX=0有解向量α,且Ak-1α≠0,证明:向量组α,4α,…,AAk-1α线性无关.

选项

答案设有一组数λ0,λ1,…,λk-1使λ0α+λ1Aα+…+λk-mAk-1α=0,两端左乘Ak-1,由于Ak+mα=0(m=0,1,2,…),=>λ0Ak-1α=0,又Ak-1α≠0,=>λ0=0,同理可证λ1=…=λk-1=0,故α,Aα,…,Ak-1线性无关.

解析
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