2. 考研
  3. 设A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A)=r(A┊B)．

设A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A)=r(A┊B)．

admin2019-07-23  9
问题 设A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充要条件是r(A)=r(A┊B)．
选项
答案设矩阵A、X、B按列分块分别为：A=[α1 … αn]，X=[x1 … xn]，B=[b1 … bn]，则Ax=B→[Ax1 … Axn]=[b1 … bn]→Axj=bj(j=1，…，p)→向量bj可由A的列向量组线性表示→矩阵A=[α1 … αn]与矩阵[A┆B]=[α1 … αn┆b1 … bn]的列向量组等价→r(A)=r[A┆B]． 以上用到了：等价的向量组必同秩；反之，若向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)同秩，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．
解析
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考研数学一

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