已知R3的两组基 α1=(1,0,一1)T,α2=(2,1,1)T, α3=(1,1,1)T与β1=(0,1,1)T, β2=(一1,1,0)T,β3=(1,2,1)T. (Ⅰ)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵; (Ⅱ)求γ=(9,

admin2020-03-05  47

问题 已知R3的两组基
α1=(1,0,一1)T,α2=(2,1,1)T,  α3=(1,1,1)T与β1=(0,1,1)T,  β2=(一1,1,0)T,β3=(1,2,1)T
(Ⅰ)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵;
(Ⅱ)求γ=(9,6,5)T在这两组基下的坐标;
(Ⅲ)求向量δ,使它在这两组基下有相同的坐标.

选项

答案(Ⅰ)设从基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵是C,则(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C, 故 C=(α1,α2,α3)-11,β2,β3)=[*] (Ⅱ)设γ在基β1,β2,β3下坐标是(y1,y2,y3)T,即y1β1+y2β2+y3β3=γ,亦即 [*] 设γ在基α1,α2,α3下坐标是(x1,x2,x3)T,按坐标变换公式X=CY,有 [*] 可见γ在这两组基下的坐标分别是(1,2,4)T和(0,一4,5)T. (Ⅲ)设δ=x1α1+x2α2+x3α3=x1β1+x2β2+x3β3,即 x11一β1)+x22一β2)+x33一β3)=0. 亦即 [*] 所以,仅零向量在这两组基下有相同的坐标.

解析
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