2. 考研
  3. 已知R3的两组基 α1=(1，0，一1)T，α2=(2，1，1)T， α3=(1，1，1)T与β1=(0，1，1)T， β2=(一1，1，0)T，β3=(1，2，1)T． (Ⅰ)求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵； (Ⅱ)求γ=(9，

已知R3的两组基 α1=(1，0，一1)T，α2=(2，1，1)T， α3=(1，1，1)T与β1=(0，1，1)T， β2=(一1，1，0)T，β3=(1，2，1)T． (Ⅰ)求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵； (Ⅱ)求γ=(9，

admin2020-03-05  36
问题 已知R3的两组基
α1=(1，0，一1)T，α2=(2，1，1)T，  α3=(1，1，1)T与β1=(0，1，1)T，  β2=(一1，1，0)T，β3=(1，2，1)T．
(Ⅰ)求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵；
(Ⅱ)求γ=(9，6，5)T在这两组基下的坐标；
(Ⅲ)求向量δ，使它在这两组基下有相同的坐标．
选项
答案(Ⅰ)设从基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵是C，则(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C， 故 C=(α1，α2，α3)－1(β1，β2，β3)=[*] (Ⅱ)设γ在基β1，β2，β3下坐标是(y1，y2，y3)T，即y1β1+y2β2+y3β3=γ，亦即 [*] 设γ在基α1，α2，α3下坐标是(x1，x2，x3)T，按坐标变换公式X=CY，有 [*] 可见γ在这两组基下的坐标分别是(1，2，4)T和(0，一4，5)T． (Ⅲ)设δ=x1α1+x2α2+x3α3=x1β1+x2β2+x3β3，即 x1(α1一β1)+x2(α2一β2)+x3(α3一β3)=0． 亦即 [*] 所以，仅零向量在这两组基下有相同的坐标．
解析
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考研数学一

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