设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

admin2019-02-26 42

问题设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
(1)存在可逆矩阵P，使得P^TAP，P^TBP都是对角矩阵；
(2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

选项

答案(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P₁，使得P₁^TAP₁＝E．作B₁＝P₁^TBP₁，则B仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q^TB₁Q是对角矩阵．令P＝P₁Q，则 P^TAP＝Q^*P₁^TAP₁Q＝E，P^TBP＝Q^TP₁^TBP₁Q＝Q^TB₁Q．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P^TBP对角线上的元素依次为λ₁，λ₃，…，λ_n，记 M＝max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E＋εP^TBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1＋ελ_i＞0，i＝1，2，…，n．于是E＋εP^TBP正定，P^T(A＋εB)P＝E＋εP^TBP，因此A＋εB也正定．

解析

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考研数学一

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设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

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