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设函数f(x)有反函数g(x),且f(a)=3,f′(a)=1,f″(a)=2,求g″(3).
设函数f(x)有反函数g(x),且f(a)=3,f′(a)=1,f″(a)=2,求g″(3).
admin
2016-10-26
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问题
设函数f(x)有反函数g(x),且f(a)=3,f′(a)=1,f″(a)=2,求g″(3).
选项
答案
记y=f(x).应注意到,g(x)为f(x)的反函数,已经改变了变量记号,为了利用反函数导数公式,必须将g(x)改写成g(y). 由反函数求导公式有f′(x)g′(y)=1,将该等式两边关于x求导得 f″(x)g′(y)+f′(x)g″(y)y′
x
=0, 或 f″(x)g′(y)+[f′(x)]
2
g″(y)=0. 注意到g′(3)=[*]=1,在上式中令x=a,应有y=3,因此得到 g″(3)=-f″(a)g′(3)=-2.
解析
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考研数学一
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