已知非齐次线性方程组,有3个线性无关的解。 证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2。

admin2019-03-23  45

问题 已知非齐次线性方程组,有3个线性无关的解。
证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2。

选项

答案设α1,α2,α3是方程组Ax=β的3个线性无关的解,其中 [*] 则有A(α1—α2)=0,A(α1—α3)=0,即α1—α2,α1—α3是对应齐次线性方程组Ax=0的解,且线性无关。(否则,易推出α1,α2,α3线性相关,与假设矛盾。) 所以有n—R(A)≥2,即4—R(A)≥2[*]R(A)≤2。又矩阵A中的一个2阶子式[*]—1≠0,所以R(A)≥2。因此R(A)=2。

解析
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